精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直線梯形,∠ADC為直角,AD∥BC,AB⊥AC,AC=AB=2,G是△PAC的重心,E為PB中點(diǎn),F(xiàn)在線段BC上,且CF=2FB.
(1)證明:FG∥平面PAB;
(2)證明:FG⊥AC;
(3)求二面角P-CD-A的一個(gè)三角函數(shù)值,使得FG⊥平面AEC
分析:(I)欲證FG∥平面PAB,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證FG與平面PAB內(nèi)一直線平行,連接CG延長(zhǎng)交PA于M,連BM,根據(jù)比例可得FG∥BM,BM?平面PAB,F(xiàn)G?平面PAB,滿足定理?xiàng)l件;
(II)欲證FG⊥AC,而FG∥BM,可先證AC⊥BM,欲證AC⊥BM,可證AC⊥平面PAB,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與平面PAB內(nèi)兩相交直線垂直,而PA⊥AC,又AB⊥AC,PA∩AB=A,滿足定理?xiàng)l件;
(III)連EM,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角,在三角形PDA中求出此角的正切值即可.
解答:證明(I)連接CG延長(zhǎng)交PA于M,連BM,
∵G為△PAC的重心,∴
CG
GM
=2:1
又∵
CF
FB
=2:1
,∴FG∥BM.
又∵BM?平面PAB,
∴FG?平面PAB,
∴FG∥平面PAB(4分)
(II)∵PA⊥平面ABCD,PA⊥AC,又AB⊥AC,PA∩AB=A,∴AC⊥平面PAB,∴AC⊥BM.
由(I)知FG∥BM,∴FG⊥AC(7分)
(III)連EM,由(II)知FG⊥AC,∴FG⊥平面AEC的充要條件是:
FG⊥AE,即BM⊥AE,又EM=
1
2
AB=1
,
設(shè)EA∩BM=H,則EH=
1
2
HA
,
設(shè)PA=h,則EA=
1
2
PB=
1
2
4+h2
,EH=
1
3
EA=
1
6
4+h2

∵Rt△AME~Rt△MHE,
∴EM2=EH•EA.
12=
1
2
4+h2
1
6
4+h2
,
h=2
2
,即PA=2
2
(9分)

∵PA⊥平面ABCD,∴AD⊥CD,
∴PD⊥CD,
∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角,此時(shí)tan∠PDA=
PA
AD
=
2
2
2
=2
,
∴當(dāng)二面角P-CD-A的正切值為2時(shí),PG⊥平面AEC(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,以及直線與平面平行的判定,屬于基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長(zhǎng);
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習(xí)冊(cè)答案