Question

設(shè)a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca≥3，證明a⁵+b⁵+c⁵+a³（b²+c²）+b³（c²+a²）+c³（a²+b²）≥9．

Answer 1

分析：依題意，原命題等價(jià)于（a³+b³+c³）（a²+b²+c²）≥9，利用（a³+b³+c³）²≥9(

a2+b2+c2

3

)3，結(jié)合已知即可證得結(jié)論．

解答：證明：原命題等價(jià)于（a³+b³+c³）（a²+b²+c²）≥9，…（3分）
又（a³+b³+c³）²≥9(

a2+b2+c2

3

)3，…（6分）
故只需要證明a²+b²+c²≥3成立．…（9分）
∵a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca≥3，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca）≥6．
∴a²+b²+c²≥3成立．
故原結(jié)論成立．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查分析法與綜合法的靈活應(yīng)用，關(guān)系式（a³+b³+c³）²≥9(

a2+b2+c2

3

)3的應(yīng)用是難點(diǎn)，屬于難題．