Question

已知向量

a

=（cos（x+

π

8

），sin²（x+

π

8

）），

b

=（sin（x+

π

8

），1），函數(shù)f（x）=2

a

•

b

-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出函數(shù)f（x）的周期與對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（-

1

2

x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先表示出f（x）的解析式，進(jìn)而利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)其化簡(jiǎn)利用周期公式求得周期，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的對(duì)稱中心．
（Ⅱ）先求得y的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

a

•

b

-1=2cos(x+

π

8

)sin(x+

π

8

)+2sin2(x+

π

8

)-1=sin(2x+

π

4

)-cos(2x+

π

4

)=

2

sin2x，
周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，
令y=0，即

2

sin2x=0，得2x=kπ，x=

kπ

2

，k∈Z，
∴對(duì)稱點(diǎn)為(

kπ

2

，0)，k∈Z．
（Ⅱ）∵y=f(-

1

2

x)=

2

sin(-x)=-

2

sinx，
∴sinx遞減，
∴2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
∴y=f(-

1

2

x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題過程中注意運(yùn)用整體的思想來解決三角函數(shù)問題．