Question

已知圓C：x²+y²=9，點A（﹣5，0），直線l：x﹣2y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；
（2）在直線OA上（O為坐標原點），存在定點B（不同于點A），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標．

Answer 1

解：（1）設(shè)所求直線方程為y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直線與圓相切，
∴，得，
∴所求直線方程為，
（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點B（t，0），
當P為圓C與x軸左交點（﹣3，0）時，；
當P為圓C與x軸右交點（3，0）時，，
依題意，，解得，t=﹣5（舍去），或．
下面證明點對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)．
設(shè)P（x，y），則y²=9﹣x²，
∴，
從而為常數(shù)．
方法2：假設(shè)存在這樣的點B（t，0），使得為常數(shù)λ，則PB2=λ²PA²，
∴（x﹣t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，將y²=9﹣x²代入得，
x²﹣2xt+t²+9﹣x²=λ²（x²+10x+25+9﹣x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²﹣t²﹣9=0對x∈[﹣3，3]恒成立，
∴，解得或（舍去），
所以存在點對于圓C上任一點P，都有為常數(shù)．