Question

設函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值點．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數(shù)的解析式f（x）=x³-3ax+b，把點（2，f（2））代入，再根據f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求出a，b的值；
（2）由題意先對函數(shù)y進行求導，解出極值點，然后再根據極值點的值討論函數(shù)的增減性及其增減區(qū)間；
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴

（Ⅱ）∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
當a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，此時函數(shù)f（x）沒有極值點．
當a＞0時，由，
當時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
當時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減，
當時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
∴此時是f（x）的極大值點，是f（x）的極小值點．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．