Question

已知t＞0，函數(shù)f（x）=|

x-t

x+3t

|．
（1）t=1時，寫出f（x）的增區(qū)間；
（2）記f（x）在區(qū)間[0，6]上的最大值為g（t），求g（t）的表達式；
（3）是否存在t，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，6）內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)圖象的平移求出函數(shù)g（x）=1-

4

x+3

的增區(qū)間，取絕對值后得到f（x）的增區(qū)間；
（2）分0≤x≤t和x＞t把原函數(shù)去絕對值，求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，結(jié)合端點值可得f（x）在區(qū)間[0，6]上的最大值為g（t）；
（3）由（1）知，當t≥6時，f（x）在（0，6）上單調(diào)遞減，不滿足要求；當0＜t＜6時，f（x）在（0，t）上單調(diào)遞減，在（t，6）上單調(diào)遞增．設(shè)出區(qū)間（0，6）內(nèi)的圖象上的兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），把在該兩點處的切線互相垂直轉(zhuǎn)化為集合T={x|3t＜x＜4t}與集合B={x|

4t

6+3t

＜x＜1}的交集非空，由此列不等式求得t的取值范圍．

解答： 解：（1）當t=1時，f（x）=|

x-1

x+3

|=|1-

4

x+3

|，
函數(shù)g（x）=1-

4

x+3

的增區(qū)間為（-∞，-3），（-3，+∞），
且x∈（-3，1）時g（x）＜0，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）當0≤x≤t時，f（x）=

t-x

x+3t

；當x＞t時，f（x）=

x-t

x+3t

．
因此，當x∈（0，t）時，f′（x）=

-4t

(x+3t)2

＜0，f（x）在（0，t）上單調(diào)遞減；
當x∈（t，+∞）時，f′（x）=

4t

(x+3t)2

＞0，f（x）在（t，+∞）上單調(diào)遞增．
①若t≥6，則f（x）在（0，6）上單調(diào)遞減，g（t）=f（0）=

1

3

．
②若0＜t＜6，則f（x）在（0，t）上單調(diào)遞減，在（t，6）上單調(diào)遞增．
∴g（t）=max{f（0），f（6）}．
而f（0）-f（6）=

1

3

-

6-t

6+3t

=

2t-4

6+3t

，
故當0＜t≤2時，g（t）=f（6）=

6-t

6+3t

；
當2＜t＜6時，g（t）=f（0）=

1

3

．
綜上所述，g（t）=

6-t 6+3t ，0＜t≤2 1 3 ，t＞2

；
（3）由（1）知，當t≥6時，f（x）在（0，6）上單調(diào)遞減，不滿足要求；
當0＜t＜6時，f（x）在（0，t）上單調(diào)遞減，在（t，6）上單調(diào)遞增．
若存在x₁，x₂∈（0，6）（x₁＜x₂），使曲線y=f（x）在（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））兩點處的切線互相垂直，
則x₁∈（0，t），x₂∈（t，6），且f（x₁）•f（x₂）=-1，
即

-4t

(x1+3t)2

•

4t

(x2+3t)2

=-1，亦即x1+3t=

4t

x2+3t

，
由x₁∈（0，t），x₂∈（t，6），得x1+3t∈(3t，4t)，

4t

x2+3t

∈(

4t

6+3t

，1)，
故x1+3t=

4t

x2+3t

等價于集合T={x|3t＜x＜4t}與集合B={x|

4t

6+3t

＜x＜1}的交集非空．
∵

4t

6+3t

＜4t，
∴當且僅當0＜3t＜1，即0＜t＜

1

3

時，T∩B≠∅．
綜上所述，存在t使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，6）內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，
且t的取值范圍是(0，

1

3

)．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是高考試卷中的壓軸題．