Question

（2012•眉山二模）已知書架中甲層有英語書2本和數(shù)學(xué)書3本，乙層有英語書1本和數(shù)學(xué)書4本．現(xiàn)從甲、乙兩層中各取兩本書．
（1）求取出的4本書都是數(shù)學(xué)書的概率．
（2）求取出的4本書中恰好有1本是英語書的概率．
（3）設(shè)ξ為取出的4本書中英語書本數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)“從甲層取出的2本書均為數(shù)學(xué)書”的事件為A，“從乙層取出的2本書均為數(shù)學(xué)書”的事件為B，由于A、B相互獨(dú)立，利用獨(dú)立事件的概率公式可求；
（2）設(shè)“從甲層取出的2本書均為數(shù)學(xué)書，從乙層取出的2本書中，1本是英語，1本是數(shù)學(xué)”的事件為C，“從甲層取出的2本書中，1本是英語，1本是數(shù)學(xué)，從乙層取出的2本書中均為數(shù)學(xué)”的事件為D，由于C，D互斥，利用互斥事件的概率公式可求；
（3）確定ξ可能的取值，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（1）設(shè)“從甲層取出的2本書均為數(shù)學(xué)書”的事件為A，“從乙層取出的2本書均為數(shù)學(xué)書”的事件為B，由于A、B相互獨(dú)立，記“取出的4本書都是數(shù)學(xué)書的概率”為P₁．
∴P₁=P（AB）=P（A）P（B）=

C 2 3

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

=

9

50

                           （3分）
（2）設(shè)“從甲層取出的2本書均為數(shù)學(xué)書，從乙層取出的2本書中，1本是英語，1本是數(shù)學(xué)”的事件為C，“從甲層取出的2本書中，1本是英語，1本是數(shù)學(xué)，從乙層取出的2本書中均為數(shù)學(xué)”的事件為D，由于C，D互斥，記“取出的4本書中恰好有1本是英語書的概率”為P₂．
P ₂=P（C+D）=P（C）+P（D）=

C 2 3

C 2 5

×

C 1 4

C 2 5

+

C 1 2 C 1 3

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

=

12

25

          （6分）
（3）由題意，ξ可能的取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

9

50

，P（ξ=1）=

12

25

，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

+

C 1 2 C 1 3

C 2 5

×

C 1 4

C 2 5

=

3

10

P（ξ=3）=

C 2 2

C 2 5

×

C 1 4

C 2 5

=

1

25

                                         （9分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	9 50	12 25	3 10	1 25

（10分）
Eξ=0×

9

50

+1×

12

25

+2×

3

10

+3×

1

25

=1.2                         （12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．