Question

已知各項均不相等的等差數列{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n為數列{

1

anan+2

}的前n項和，若T_n≤λ對?n∈N^*恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由

1

anan+2

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂項求和法求出T_n=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

．由此能求出λ的最小值為

5

12

．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，
∵{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1，或d=0．（舍）
∴a₁=2，故a_n=n+1．
（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴

1

anan+2

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴T_n=（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

）
=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

．
∵T_n≤λ對?n∈N^*恒成立，∴λ≥

5

12

，即λ的最小值為

5

12

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查實數的最小值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．