Question

已知總體的各個體的值由小到大依次為2，4，a，b，12，18 （a＞0，b＞0），且總體的中位數(shù)為6，若總體的方差最小時，則函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1的最小值是

 

．

Answer 1

考點：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，得到a+b=12，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，得到總體的方差最小，只要兩個數(shù)字的平方和最小，得到結(jié)果．

解答： 解：∵總體的各個體的值由小到大依次為2，4，a，b，12，18 （a＞0，b＞0），且總體的中位數(shù)為6，
∴a+b=12，
∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

1

6

（2+4++a+b+12+18）=8，
∴這組數(shù)據(jù)的方差是

1

6

[（2-8）²+（4-8）²+（a-8）²+（b-8）²+（12-8）²+（18-8）²]，
設(shè)m=（2-8）²+（4-8）²+（12-8）²+（18-8）²，則m為常數(shù)，
∴要使總體的方差最小，則（a-8）²+（b-8）²最小即可，
設(shè)n=（a-8）²+（b-8）²=（a-8）²+（12-a-8）²=2（a-6）²+8時，
∴當a=6時，n取得最小值，此時b=6．
∴要使該總體的方差最小，則有a=b=6，
則函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1=6x²+12x+1=6（x+1）²-5≥-5，
∴函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1的最小值是-5．
故答案為：-5

點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值求法，利用中位數(shù)和方差的定義和性質(zhì)求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力．