Question

已知關于x的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實數根b．

（1）求實數a，b的值．

（2）若復數z滿足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的值．

 

Answer 1

(1);(2) 當z=1﹣i時,|z|有最小值且|z|min=．

【解析】

試題分析：(1)將實數根代入后，復數為0表示為實部為0，虛部為0，解出與;

(2) 先把代入方程，同時設復數，化簡方程，根據表達式的幾何意義，方程表示圓，

再數形結合，表示為圓上點到原點的距離，求出，得到．

試題解析：【解析】
（1）∵b是方程x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實根，

∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，

∴解之得a=b=3．

（2）設z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，

得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2），

即（x+1）2+（y﹣1）2=8，

∴z點的軌跡是以O1（﹣1，1）為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，

如圖，

當z點在OO1的連線上時，|z|有最大值或最小值，

∵|OO1|=半徑r=2，

∴當z=1﹣i時.|z|有最小值且|z|min=．

考點：1.復數的代數法及幾何意義；2.復數相等.