Question

已知在△ABC中，A＞B，且tanA與tanB是方程x²-5x+6=0的兩個(gè)根．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）若AB=5，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：先由根系關(guān)系得出tanA與tanB和與積，（I）由正切的和角公式代入求值；
（II）由A＞B，以及A，B，A+B的正切值，解出相應(yīng)角的正弦值，由正弦定理求線段BC的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）由所給條件，方程x²-5x+6=0的兩根tanA=3，tanB=2．（2分）
∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

（4分）
=

2+3

1-2×3

=-1（6分）
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，∴C=180°-（A+B）．
由（Ⅰ）知，tanC=-tan（A+B）=1，
∵C為三角形的內(nèi)角，∴sinC=

2

2

（8分）
∵tanA=3，A為三角形的內(nèi)角，∴sinA=

3

10

，（10分）
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

（11分）
∴BC=

5

2 2

×

3

10

=3

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：考查的考點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正切公式，正弦定理．知識(shí)涉及較多，綜合性強(qiáng)．