Question

如圖，四點A、B、C、D共圓，AC與BD相交于M，BC=

2

，AD=1+

3

，∠ADB=60°，∠CBD=15°，則AB的長為（　�。�

• A．

  5

• B．

  6

• C．

  3

  +

  5

• D．2+

  3

Answer 1

分析：由已知中A、B、C、D四點共圓，由圓周角定理可得：∠ADB=∠ACB=60°，∠CBD=∠CAD=15°，進而∠BMA=∠CMD=75°，根據(jù)正弦定理，我們可以求出AM，CM的長，進而求出AC長，再由余弦定理，即可得到AB的長．

解答：解：由已知中，A、B、C、D四點共圓，
∴∠ADB=∠ACB=60°，∠CBD=∠CAD=15°，
∴∠BMA=75°，
由正弦定理可得，在△ABM中
AB=

AM

sin∠ABD

sin75°
在△ABD中
AB=

AD

sin∠ABD

sin60°
∴AM=

AD

sin75°

sin60°=

6

在△CBM中
CD=

CM

sin∠CDB

sin75°
在△CBD中
CD=

BC

sin∠CDB

sin15°
∴CM=

BC

sin75°

sin15°=2

2

-

6

∴AC=2

2

在△ABC中，AB=

AC2+BC2-2AC•BC•cos∠ACB

=

6

故選B

點評：本題考查的知識點是正弦定理和余弦定理，是平面幾何三角形問題的綜合應用，除解三角形外，根據(jù)四點共圓及圓周角定理得到：∠ADB=∠ACB，∠CBD=∠CAD，根據(jù)三角形外角和定理求出∠BMA=∠CMD=75°，都是解答的關鍵，難度較大．