Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)， ）.

（Ⅰ）把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線的形狀；

（Ⅱ）若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線被曲線截得的線段的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）對曲線的極坐標(biāo)方程兩邊乘以，可化得其直角坐標(biāo)方程為，這是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程的定義可知，直線過點(diǎn)，依題意直線又過點(diǎn)，由此求得直線方程為，傾斜角為，故直線的參數(shù)方程為，代入拋物線的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達(dá)定理，利用求得弦長為.

試題解析：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，故曲線是頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為的拋物線.

（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)， ），故經(jīng)過點(diǎn)，若直線經(jīng)過點(diǎn)，則.

∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

代入，得，

設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則， ，

∴.