【題目】已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判斷此時△ABC的形狀．

【答案】
（1）解：sinC=2sinA利用正弦定理化簡得：c=2a，

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac=2a2，即b= a，

∴cosB= = = ；


（2）解：∵b2=ac，

∴cosB= = ≥ = ，

∵函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，π]上為減函數(shù)，

∴B∈（0， ]，即角B的最大值為 ，

此時有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，

則△ABC為等邊三角形．


【解析】（1）利用正弦定理化簡已知等式，得到c=2a，再有a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質列出關系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入計算即可求出值；（2）由表示出的cosB，將b2=ac代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值，由余弦函數(shù)在[0，π]上為減函數(shù)，確定出B的最大值，由此時a=c及b2=ac，得出三角形ABC為等邊三角形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:．

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