Question

（2012•河北模擬）已知在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且

b

cosB

=

a

cosA

，a²b²cosC=a²+b²-c²，S_△ABC=

3

2

．
（I）求證：△ABC為等腰三角形．
（II）求角A的值．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中，由

b

cosB

=

a

cosA

利用正弦定理可得sin（B-A）=0，可得 B-A=0，故△ABC為等腰三角形．
（II） 由余弦定理求出 cosC，代入a²b²cosC=a²+b²-c²可得 ab=2 或 a²+b²-c² =0．a(chǎn)b=2時，由S_△ABC=

3

2

求出A的值，可得C的值．當(dāng)a²+b²-c² =0，△ABC為等腰直角三角形，
從而求得A的值，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（I）證明：在△ABC中，∵

b

cosB

=

a

cosA

，由正弦定理可得

sinB

cosB

=

sinA

cosA

，∴sinBcosA=cosBsinA，∴sin（B-A）=0．
再由-π＜A-B＜π 可得 B-A=0，
∴△ABC為等腰三角形．
（II）∵a²b²cosC=a²+b²-c²，且 cosC=

a2+b 2-c 2

2ab

，∴ab•

a2+b 2-c 2

2

=a²+b²-c²，即 （ab-2）（ a²+b²-c²）=0．
∴ab=2 或 a²+b²-c² =0．
當(dāng) ab=2時，由S_△ABC=

3

2

=

1

2

•ab•sinC 求得sinC=

3

2

，∴C=

π

3

，或 

2π

3

，故 A=

π

3

或

π

6

．
當(dāng)a²+b²-c² =0，△ABC為等腰直角三角形，A=

π

4

．
綜上可得，A=

π

3

，或A=

π

6

，或A=

π

4

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．