Question

（2012•河北模擬）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）+g（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）且x₂-x₁＞ln2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導數(shù)，再分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；
（II）函數(shù)由兩個不同的極值點轉(zhuǎn)化為導函數(shù)等于0的方程有兩個不同的實數(shù)根，進而轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，由此可得結(jié)論．

解答：解：（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=

1

e

，
∴∴①0＜t＜

1

e

，時，函數(shù)f（x）在（t，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，t+2）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值為f（

1

e

）=-

1

e

，
②當t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f（x）_min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

；
（II）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，則y′=lnx-2x+1+a
題意即為y′=lnx-2x+1+a=0有兩個不同的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
即a=-lnx+2x-1有兩個不同的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
等價于直線y=a與函數(shù)G（x）=-lnx+2x-1的圖象有兩個不同的交點
∵G′（x）=-

1

x

+2，∴G（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
畫出函數(shù)圖象的大致形狀（如右圖），
由圖象知，當a＞G（x）_min=G（

1

2

））=ln2時，x₁，x₂存在，且x₂-x₁的值隨著a的增大而增大而當x₂-x₁=ln2時，由題意

lnx1-2x1+1+a=0 lnx2-2x2+1+a=0

，
兩式相減可得ln

x1

x2

=2（x₁-x₂）=-2ln2
∴x₂=4x₁代入上述方程可得x2=4x1=

4

3

ln2，
此時a=

2

3

ln2-ln（

ln2

3

）-1，
所以，實數(shù)a的取值范圍為a＞

2

3

ln2-ln（

ln2

3

）-1；

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查的知識點比較多，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，綜合性強．