Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC₁、AB、BC的中點．且．
（1）求證：CN∥面AMB₁；
（2）求證：B₁M⊥面AMG；
（3）求：．

Answer 1

解：（1）設(shè)AB₁的中點為P，連接NP、MP…（1分）
∵△AB₁B中，PN是中位線，∴PN∥B₁B且PN=B₁B
又∵矩形BB₁C₁C中，CM∥B₁B且CM=B₁B
∴CM∥NP且CM=NP…（2分）
∴四邊形CNPM是平行四邊形，可得CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（2）∵CC₁⊥平面ABC，CC₁⊆平面CC₁B₁B
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC，AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁B₁B，
∵B₁M⊆平面CC₁B₁B，∴B₁M⊥AG．…（5分）
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁
設(shè)AC=2a，則CC₁=2a
在Rt△MCG中，MG=
同理可得：B₁M=a
∵BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，可得BB₁⊥BC，
連接B₁G，可得B₁G=，
∴MG²+B₁M²=，∴B₁M⊥MG，…（7分）
又AG∩MG=G，∴B₁M⊥平面AMG..…（8分）
（3）結(jié)合（2）中所設(shè)數(shù)據(jù)，可得…（9分）
∵AG⊥平面BGM，∴AG是三棱錐A-B₁GM的高
∵S_△B1GM=GM×MB₁=××=a²，
∴三棱錐A-B₁GM的體積V_A-B1GM=×S_△B1GM×AG=×a²×=a³，
即V_AMB1G=V_A-B1GM=a³，…（10分）
∴…（12分）
分析：（1）設(shè)AB₁的中點為P，連接NP、MP．根據(jù)三角形△AB₁B中PN是中位線，以及矩形BB₁C₁C中M是CC₁中點，可證明出CM∥NP且CM=NP，從而四邊形CNPM是平行四邊形，可得CN∥MP，根據(jù)線面平行的判定定理，得到CN∥平面AMB₁．
（2）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)，可得B₁M⊥AG．設(shè)AC=2a，結(jié)合題中和線面垂直的位置關(guān)系，算出MG²+B₁M²=，得出B₁M⊥MG．最后根據(jù)線面垂直的判定定理，得到B₁M⊥平面AMG．
（3）根據(jù)AG⊥平面BGM，得AG是三棱錐A-B₁GM的高．算出△B₁GM的面積并結(jié)合棱錐體積公式，可得三棱錐A-B₁GM的體積，得到V_AMB1G=V_A-B1GM=a³，而易得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=，由此不難算出四面體AMB₁G與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積之比．
點評：本題給出特殊三棱柱，求證線面垂直、線面平行并求多面體的體積之比，著重考查了空間線面平行的判定、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體、柱體的體積公式等知識，屬于中檔題．