Question

如圖，在直三棱柱中，,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）平面MNC與平面MAC夾角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以直三棱柱為幾何背景，考查空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系、二面角、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問(wèn)，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，先在面內(nèi)找到線(xiàn)，從而證明平面；第二問(wèn)，建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出所有點(diǎn)坐標(biāo),先找到平面和平面的法向量,利用線(xiàn)面垂直的判定可以確定是平面的法向量，而平面的法向量需要計(jì)算求出來(lái)，最后利用夾角公式求夾角余弦，注意判斷夾角是銳角還是鈍角，來(lái)判斷余弦值的正負(fù).
試題解析：（1）連接

由題意知，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

于是，
∵平面，∴，∵為正方形，∴平面，
∴是平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的法向量為，，，
，，令，
∴，
設(shè)向量和向量的夾角為，則
，
∴平面與平面的夾角的余弦值是.
考點(diǎn)：1.線(xiàn)面垂直的判定定理；2.線(xiàn)面平行的判定定理；3.空間向量法；4.夾角公式.