Question

已知傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)A（1，-2）和點(diǎn)B，B在第一象限，|AB|=3

2

．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線l與雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）相交于E、F兩點(diǎn)，且線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），求a的值；
（3）對(duì)于平面上任一點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱|PQ|的最小值為P與線段AB的距離．已知點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，寫出點(diǎn)P（t，0）到線段AB的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)直線AB方程為y=x-3，設(shè)點(diǎn)B（x，y），由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及B在第一象限求解．
（2）先聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元轉(zhuǎn)化為：(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，再由韋達(dá)定理求解．
（3）先設(shè)線段AB上任意一點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（x，x-3），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立二次函數(shù)模型，|PQ|=

(t-x)2+(x-3)2

，
記f(x)=

(t-x)2+(x-3)2

=

2(x- t+3 2 )2+ (t-3)2 2

（1≤t≤4），再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的相對(duì)位置，分類討論求解．

解答：解：（1）直線AB方程為y=x-3，設(shè)點(diǎn)B（x，y），
由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及x＞0，y＞0得x=4，y=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
（2）由

y=x-3 x2 a2 -y2=1

得(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x1+x2=-

6a2

1-a2

=4，得a=2．

（3）設(shè)線段AB上任意一點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（x，x-3），|PQ|=

(t-x)2+(x-3)2

，
記f(x)=

(t-x)2+(x-3)2

=

2(x- t+3 2 )2+ (t-3)2 2

（1≤t≤4），
當(dāng)1≤

t+3

2

≤4時(shí)，即-1≤t≤5時(shí)，|PQ|min=f(

t+3

2

)=

|t-3|

2

，
當(dāng)

t+3

2

＞4，即t＞5時(shí)，f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，|PQ|min=f(4)=

(t-4)2+1

；
當(dāng)

t+3

2

＜1，即t＜-1時(shí)，f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，|PQ|min=f(1)=

(t-1)2+4

．
綜上所述，h(t)=

(t-1)2+4 ，t＜-1 |t-3| 2 ，-1≤t≤5 (t-4)2+1 ，t＞5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)考查了建立函數(shù)模型求最值的能力．