Question

在銳角△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對的邊，且

3

a=2csinA．
（1）確定∠C的大��；
（2）若c=

3

，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式變形為：

a

c

=

2sinA

3

，并利用正弦定理化簡，根據(jù)sinA不為0，可得出sinC的值，由三角形為銳角三角形，得出C為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出關系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周長，將表示出a，b及c的值代入，由C的度數(shù)，求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，把B也代入表示出的周長，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值整理后，提取2

3

再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到A的范圍，進而確定出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質求出此時正弦函數(shù)的值域，即可確定出周長的范圍．

解答：解：（1）由

3

a=2csinA變形得：

a

c

=

2sinA

3

，
又正弦定理得：

a

c

=

sinA

sinC

，
∴

2sinA

3

=

sinA

sinC

，
∵sinA≠0，∴sinC=

3

2

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴∠C=

π

3

；
（2）∵c=

3

，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

3

=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]+

3

=2（sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）+

3

=3sinA+

3

cosA+

3

=2

3

（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）+

3

=2

3

sin（A+

π

6

）+

3

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴

π

6

＜∠A＜

π

2

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
則△ABC周長的取值范圍是（3+

3

，3

3

]．

點評：此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．