Question

在等比數(shù)列{a_n}中，且a₈＞a₉，則使得的自然數(shù)n的最大值為（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

Answer 1

【答案】分析：由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₇•a₉=a₈²，與已知的等式聯(lián)立，并利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，可得出a₁與q的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)a₈＞a₉，可得出q的取值范圍，把所求的式子變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190840168105681/SYS201310241908401681056008_DA/1.png">-，并利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，將表示出的a₁代入，分解因式后，根據(jù)其值大于0，得到-＞0，由q的范圍，得到關(guān)于i的不等式，求出不等式的最大正整數(shù)解可得出n的最大值．
解答：解：∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴a₇•a₉=a₈²，又a₉=a₇²，
兩式相除得：a₇³=a₈²，即（a₁q⁶）³=（a₁q⁷）²，
∴a₁=，
∵a₈＞a₉，即a₁q⁷＞a₁q⁸，
∴q³-q⁴＞0，即q³（1-q）＞0，
解得：0＜q＜1，
又=-
=-
=
=＞0，
∴-＞0，
∴q⁴＜q^i-5，又0＜q＜1，
∴i-5＜4，即i＜9，
則n的最大值為8．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式，以及求和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．