Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=3，S₂=

9

2

，2S_n+2+S_n=3S_n+1．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若對任意n∈N^*，不等式

3k

6-Sn

≥n恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到

an+2

an+1

=

1

2

，再求得

a2

a1

=

1

2

，即可說明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，代入不等式

3k

6-Sn

≥n后分離參數(shù)k，求出含n的函數(shù)的最大值后得到k的范圍．

解答： （1）證明：由2S_n+2+S_n=3S_n+1，
得2（S_n+2-S_n+1）=S_n+1-S_n，即2a_n+2=a_n+1，
∴

an+2

an+1

=

1

2

，
又a₁=3，S₂=

9

2

，∴a2=S2-a1=

9

2

-3=

3

2

，
∴

a2

a1

=

3 2

3

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴Sn=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

=6(1-

1

2n

)，
對任意n∈N^*，不等式

3k

6-Sn

≥n恒成立，等價于

3k

6-6+ 6 2n

≥n恒成立，
即k≥

n

2n-1

對任意n∈N^*恒成立，
令f（n）=

n

2n-1

，
∵f（1）=f（2）=1，且當n≥3時f（n）＜1，
∴k≥1．
故對任意n∈N^*，使不等式

3k

6-Sn

≥n恒成立的實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和，訓練了數(shù)列不等式中恒成立問題的求解方法，是中檔題．