已知雙曲線C：（1－）＋＝（a＞1），設(shè)該雙曲線上支的頂點(diǎn)為A，且上支與直線y＝－x相交于P點(diǎn)，一條以A為焦點(diǎn)，M（0，m）為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線通過(guò)點(diǎn)P，設(shè)直線PM的斜率為k，且≤k≤，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

答案：
解析：

解  由雙曲線方程知，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），從而拋物線方程為

　　＝－4（m－1）（y－m）．

　　由，

　　得P點(diǎn)坐標(biāo)為（－a，a）．

　　∵  點(diǎn)P在拋物線上，

　　∴  ＝－4（m－1）（a－m）　　　　　　　　  ①

　　由MP的斜率k＝，得m＝ak＋a，

　　代入①，得＝－4（ak＋a－1）（－ak），

　　即＋4（a－1）k－a＝0　　　　　　　　　　 ②

　　由題設(shè)知，方程②在區(qū)間[，]上有實(shí)根．

　　令f（k）＝＋4（a－1）k－a，

　　則對(duì)稱(chēng)軸＜0＜．

　　∴  f（k）在區(qū)間[，]上有實(shí)根的充要條件是，

　　解得≤a≤4．

　　故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，4]．

點(diǎn)評(píng)  由②式也可以得到，易知該函數(shù)在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．

 


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A.1條                          B.2條                          C.3條                          D.4條

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（12分）已知雙曲線C：，                

(1) 求雙曲線C的漸近線方程；

(2) 已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1)．設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．記

,求λ的取值范圍；

(3) 已知點(diǎn)D、E、M的坐標(biāo)分別為(－2，－1)、(2，－1)、(0,1)，P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)．記l為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長(zhǎng)．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

 

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