Question

設tan

θ

2

=t．
（1）求證：

1+sinθ

1+sinθ+cosθ

=

1

2

(t+1)；
（2）當tan(

π

2

+2θ)=

3

4

時，利用以上結果求

1-sin4θ

1-sin4θ-cos4θ

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

專題：綜合題

分析：（1）利用萬能公式用tan

θ

2

分別表示出sinθ和cosθ，代入整理可證明原式．
（2）利用誘導公式和（1）中的結論，整理成tan(

π

2

+2θ)的形式，最后代入即可．

解答： 解：（1）證明：由sinθ=

2tan θ 2

1+tan2 θ 2

及cosθ=

1-tan2 θ 2

1+tan2 θ 2

得1+sinθ=

(1+tan θ 2 )2

1+tan2 θ 2

=

(1+t)2

1+t2

，1+sinθ+cosθ=

2(1+tan θ 2 )

1+tan2 θ 2

=

2(1+t)

1+t2

故

1+sinθ

1+sinθ+cosθ

=

1

2

(t+1)．
（2）解：由（1）及tan(

π

2

+2θ)=

3

4

得

1-sin4θ

1-sin4θ-cos4θ

=

1+sin(π+4θ)

1+sin(π+4θ)+cos(π+4θ)

=

1

2

[tan(

π

2

+2θ)+1]=

7

8

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換及化簡求值．考查了學生對公式的正用，逆用和變形用．