Question

5．已知函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$（a＞0，且a≠1），x∈[0，$\frac{3}{2}$]的最大值比最小值大2a，則a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求出a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$（a＞0，且a≠1），x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）在[0，1]為減函數(shù)，在[1，$\frac{3}{2}$]為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{a}$，f（x）_max=f（0）=1，
∴1-$\frac{1}{a}$=2a，
即2a²-a+1=0，此方程無解，
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在[0，1]為增函數(shù)，在[1，$\frac{3}{2}$]為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{a}$，f（x）_min=f（0）=1，
∴$\frac{1}{a}$-1=2a，
即2a²+a-1=0，
解得a=$\frac{1}{2}$或a=-1（舍去），
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值的關(guān)系，屬于中檔題．