Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

-1+lnx（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出單調(diào)區(qū)間，（2）a≤0時(shí)，顯然不成立，a＞0時(shí)，若f（x）≥0恒成立，由（1）得：f（x）_min=f（a）=lna≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

x-a

x2

，
①a＞0時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
②a≤0時(shí)，f′x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞增；
（2）a≤0時(shí)，顯然不成立，
a＞0時(shí)，若f（x）≥0恒成立，
由（1）得：f（x）_min=f（a）=lna≥0，
∴a≥1．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．