Question

已知函數(shù)y=-3x²-12x+1，x∈（-∞，-2），判斷該函數(shù)的單調性并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①根據函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，對稱軸是x=-2，得出f（x）在x∈（-∞，-2）時是增函數(shù)；
②利用函數(shù)的單調性定義證明f（x）在x∈（-∞，-2）時是增函數(shù)即可．

解答： 解：①函數(shù)y=f（x）=-3x²-12x+1是二次函數(shù)，圖象是拋物線，且開口向下，對稱軸是x=-2；
在對稱軸的右側，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在x∈（-∞，-2）時是增函數(shù)；
②證明：任取x₁、x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（-3x12-12x₁+1）-（-3x22-12x₂+1）=3（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）；
∵x₁＜x₂＜-2，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂+4＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)y=f（x）在x∈（-∞，-2）時是增函數(shù)．

點評：本題考查了二次函數(shù)的單調性及其證明問題，解題時應根據二次函數(shù)的圖象與性質判斷其單調性，再利用函數(shù)的單調性進行證明，是基礎題．