Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
（Ⅰ）若，求角A；
（Ⅱ）若，求cosB的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得A、B∈（0，），tanA=tanB，從而有A=B；又c=b，由余弦定理可求角A；
（Ⅱ）由cosC=，利用余弦定理可得c=a，再利用正弦定理將該式轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用三角函數(shù)間的關(guān)系式即可求得cosB的值．
解答：解：∵lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
∴l(xiāng)g =lg，A、B∈（0，），
∴=，
∴acosB=bcosA，由正弦定理可得 sinAcosB=sinBcosA，sin（A-B）=0，
∵A、B∈（0，），
∴A=B，即a=b，△ABC為等腰三角形．
又c=b，由余弦定理得：c²=3b²=b²+a²-2abcos=2b²-2b²cosC，
∴cosC=-，又C∈（0，π），
∴C=，又A=B，A+B+C=π，
∴A=．
（Ⅱ）∵cosC=，
∴sinC=，
∴由余弦定理c²=b²+a²-2abcos=2a²-2a²×=a²，
∴c=a，
∴sinC=sinA，而sinC=，
∴sinA=，又A、B∈（0，），A=B，
∴cosB=cosA=．
點評：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，得到tanA=tanB，是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生綜合運用三角知識解決問題的能力，屬于難題．