Question

（2010•眉山一模）直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線，則a的值為（　�。�

• A．1
• B．

  13

  4

• C．1或

  13

  4

• D．4

Answer 1

分析：由直線與曲線相切，根據(jù)直線已知，即可得出切線斜率，即得出曲線的導(dǎo)數(shù)的方程，再設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切點(diǎn)在曲線上，又得到一個(gè)方程，兩個(gè)方程聯(lián)立求解即可．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，x₀）
∵直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線
∴切線的斜率為1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′︳x=x0=3x²-6x+a ︳x=x0=3x₀²-6x₀+a
根據(jù)切線的幾何意義得：
3x₀²-6x₀+a=1①
∵點(diǎn)P在曲線上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②聯(lián)立得

x0=0 3 x 0 2 -6x0+a-1=0

③或

x 2 0 -3x0+a-1=0 3 x 2 0 -6x0+a-1=0

④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到a=1或

13

4

，
綜上所述，a的值為1或

13

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線的斜率，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫(xiě)出直線的方程，是一道中檔題．