Question

已知f（x）=

lnx+k

ex

在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F(xiàn)（x）=xe^xf′（x）
（1）求k的值及F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)g（x）=-x²+2ax（a為正實(shí)數(shù)），若對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f′(1)=

1-k

e

=0，解出可得k，從而得F（x），在定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0，F(xiàn)′（x）＜0即可；
（2）對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等價(jià)于g（x）_max＜F（x）_max，由（1）易求F（x）_max，分0＜a≤1，a＞1兩種情況討論可求得g（x）_max，解不等式g（x）_max＜F（x）_max可求a的范圍；

解答： 解：（1）由已知可得f′(x)=

1 x -Inx-k

ex

，
∴f′(1)=

1-k

e

=0，∴k=1，
∴F（x）=xe^xf'（x）=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x，
∴F'（x）=-lnx-2，
由F′(x)=-lnx-2≥0⇒0＜x≤

1

e2

，由F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥

1

e2

，
∴F（x）的增區(qū)間為(0，

1

e2

]，減區(qū)間為[

1

e2

，+∞)；
（2）∵對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等價(jià)于g（x）_max＜F（x）_max，
由（1）知，當(dāng)x=

1

e2

時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值F(

1

e2

)=1+

1

e2

．
對于g（x）=-x²+2ax，其對稱軸為x=a
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g(x)max=g(a)=a2，∴a2＜1+

1

e2

，從而0＜a≤1．
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）_max=g（1）=2a-1，∴2a-1＜1+

1

e2

，從而1＜a＜1+

1

2e2

．
綜上可知：0＜a＜1+

1

2e2

．

點(diǎn)評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，考查恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決．