Question

已知圓C的圓心在直線上，并且與直線相切于點(diǎn)A（2，－1）.

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）從圓C外一點(diǎn)M引圓C的切線MN，N為切點(diǎn)，且MN＝MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求MN的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）MN的最小值為此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的方程，以及圓的切線方程的綜合知識的運(yùn)用。第一問中求解圓的方程，確定圓心和半徑即可。第二問中，；利用設(shè)坐標(biāo)，表示MN＝MO，然后化簡得到MN為一個(gè)元的二次函數(shù)形式，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)求解其最值的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。

解：（1）與直線相切于點(diǎn)A（2，－1）的圓的圓心在經(jīng)過點(diǎn)A且與直線 垂直的直線上，該直線的方程是.                            …………2分

又所求圓的圓心在直線上，解方程組

                                                 

得x＝1，y＝－2.

所以圓心C的坐標(biāo)是（1，－2）.                                    …………4分

因?yàn)閨AC|＝，                            …………5分

所以所求圓的方程為…………6分

（2）設(shè)M（x，y），則MO＝，MN＝，

由MN＝MO，得，                              …………8分

MN＝MO＝＝

…………11分

當(dāng)時(shí)，MN＝因此，MN的最小值為此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

…………13分