Question

已知圓C的圓心在直線x-3y=0上，且圓C與x軸相切，若圓C截直線y=x得弦長為2

7

，求圓C的方程．

Answer 1

分析：法一：設出圓的方程，利用已知條件，推出2r²=（a-b）²+14①，r²=b²②，3a-b=0③解出a，b，r即可得到圓的方程．
法二：設出圓的一般方程，利用圓錐條件，求出D、E、F即可得到圓的方程．
法三：設所求圓的圓心為（t，3t），則其半徑r=3|t|，方程為（x-t）²+（y-3t）²=9t²，圓心到直線x-y=0的距離為

2|t|

2

，求出t，解出圓的方程．

解答：解：（方法一）設所求的圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
則圓心（a，b）到直線x-y=0的距離為

|a-b|

2

，∴r2=(

|a-b|

2

)2+(

7

)2
即2r²=（a-b）²+14①（2分）
由于所求的圓與x軸相切，∴r²=b²②（4分）
又圓心在直線3x-y=0上，∴3a-b=0③（6分）
聯(lián)立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=3，r²=9（10分）
故所求的圓的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）
（方法二）設所求的圓的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，則其圓心為(-

D

2

，-

E

2

)，
半徑為

1

2

D2+E2-4F

，令y=0得x²+Dx+F=0，由圓與x軸相切，
得△=0，即D²=4F④（2分）
又圓心(-

D

2

，-

E

2

)到直線x-y=0的距離為

|- D 2 + E 2 |

2

，由已知得(

|- D 2 + E 2 |

2

)2+(

7

)2=r2，
即（D-E）²+56=2（D²+E²-4F）⑤（4分）
又圓心(-

D

2

，-

E

2

)在直線3x-y=0上，∴3D-E=0⑥（6分）
聯(lián)立④⑤⑥，解得：D=-1，E=-6，F(xiàn)=1或D=2，E=6，F(xiàn)=1（10分）
故所求圓的方程是x²+y²-2x-6y+1=0或x²+y²+2x+6y+1=0（12分）
（方法三）由題，設所求圓的圓心為（3t，t），則其半徑r=3|t|（4分）
方程為（x-t）²+（y-3t）²=9t²，圓心到直線x-y=0的距離為

2|t|

2

（6分）
∴(

2|t|

2

)2+(

7

)2=9t2，解得t=1或t=-1（10分）
故所求的圓的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查圓的方程的求法，標準方程與一般方程的應用，靈活設出圓的圓心坐標與半徑，簡化解題過程是最好的解題方法，考查計算能力．