Question

已知數列滿足（）．

（1）若數列是等差數列，求它的首項和公差；

（2）證明：數列不可能是等比數列；

（3）若，（），試求實數和的值，使得數列為等比數列；并求此時數列的通項公式．

 

Answer 1

【答案】

（1）首項為，公差為；（2）證明見解析；（3），，．

【解析】

試題分析：（1）這個問題可以用特殊值法，數列是等差數列，則前3項也成等差數列，利用它就可求出，或者先由已知求出通項公式，再與等差數列的通項公式比較求出，或者假設是等差數列，則代入已知，求出，然后與其通項公式比較，得出；（2）要證數列不是等比數列，只要證明不能成等比數列即可，但本題條件較少，可用反證法，假設它是等比數列，由成等比，求出，然后再求，看是否成等比，如果不成等比，則假設錯誤，命題得證；（3）數列為等比數列，則是常數，設，這是關于的恒等式，

，，于是有對應項系數相等，由此可求出，從而得到結論．

試題解析：（1）解法一：由已知，，    （1分）

若是等差數列，則，即，   （1分）

得，， 故．       （1分）

所以，數列的首項為，公差為．    （1分）

解法二：因為數列是等差數列，設公差為，則，

故，    （1分）

，又，所以有，    （1分）

又，從而．    （1分）

所以，數列的首項為，公差為．    （1分）

（2）假設數列是等比數列，則有，

即，       （1分）

解得，從而，，     （1分）

又．     （2分）

因為，，，不成等比數列，與假設矛盾，

所以數列不是等比數列．        （2分）

（3）由題意，對任意，有（為定值且），

即．      （2分）

即，   （1分）

于是，，    （1分）

所以，    （2分）

所以，當，時，數列為等比數列．    （1分）

此數列的首項為，公比為，所以．

因此，的通項公式為．     （1分）

考點：(1)等差數列；（2）等比數列；（3）等比數列與恒等式．