Question

已知數列滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）
（1）求證：數列{a_n+1}是等比數列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）給等式a_n+1=2a_n+1兩邊都加上1，右邊提取2后，變形得到

an+1+1

an+1

等于2，所以數列{a_n+1}是等比數列，得證；
（2）設數列{a_n+1}的公比為2，根據首項為a₁+1等于2，寫出數列{a_n+1}的通項公式，變形后即可得到{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a_n+1≠0，
∴

an+1+1

an+1

=2，
即{a_n+1}為等比數列；
（2）由（1）知a_n+1=（a₁+1）q^n-1，
即a_n=（a₁+1）q^n-1-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1．

點評：此題考查學生掌握等比數列的性質并會確定一個數列為等比數列，靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，是一道綜合題．