Question

如圖 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、F分別是BC、BB₁中點．求證：
（1）平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）若BB₁=BC，求證：平面FAC⊥平面ADC₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用面面垂直的判定定理，只需證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂直，證明AD⊥平面BCC₁B₁即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂直，證明FC⊥平面ADC₁即可；

解答： 證明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁，
∵點D為棱BC的中點，
∴AD⊥BC，
又∵CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）由（1）中AD⊥平面BCC₁B₁，F(xiàn)C?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥FC，
又∵BB₁=BC，D、F分別是BC、BB₁中點．
易得△FBC≌DCC₁，
∴∠BFC=∠CDC₁，
∴∠BCF+∠CDC₁=90°
即FC⊥DC₁，
又∵DC₁，AD?平面ADC₁，DC₁∩AD=D，
∴FC⊥平面ADC₁，
又∵FC?平面FAC，
∴平面FAC⊥平面ADC₁．

點評：本題以正三棱柱為載體，考查了面面垂直的判定定理，線面垂直的判定定理，熟練掌握空間線線垂直，線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化方法是解答的關(guān)鍵．