Question

設常數(shù)a＞0，則
（1）函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

的值域為

 

；
（2）若函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

為奇函數(shù)，則a=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題（1）先將函數(shù)式變形為部分分式，再利用分式不為0的特征得到函數(shù)的值域；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，得到關于x的恒等式，研究恒等式，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵a＞0，
∴函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

≠1，
∴函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

的值域為（-∞，1）∪（1，+∞）．
（2）∵函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∴

2-x+a

2-x-a

=-

2x+a

2x-a

，
∴2（a²-1）2^x=0，
∴a²=1，
∵常數(shù)a＞0，
∴a=1．
故答案為：（1）（-∞，1）∪（1，+∞）；（2）1．

點評：本題考查了函數(shù)的值域和函數(shù)奇偶性的應用，本題難度不大，屬于基礎題．