Question

如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn),=4.

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

（1）+=1  （2）2  (x+)²+y²=6,(x-)²+y²=6

解析解:(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e²+=1,
又e=,故b²==8,從而a²==16.
故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)由橢圓的對(duì)稱性,可設(shè)Q(x₀,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|²=(x-x₀)²+y²=x²-2x₀x++8×（1-）=(x-2x₀)²-+8(x∈[-4,4]).
設(shè)P(x₁,y₁),由題意知,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),
因此,當(dāng)x=x₁時(shí)|QM|²取最小值,
又x₁∈(-4,4),所以當(dāng)x=2x₀時(shí)|QM|²取最小值,
從而x₁=2x₀,且|QP|²=8-.
由對(duì)稱性知P′(x₁,-y₁),故|PP′|=|2y₁|,
所以S=|2y₁||x₁-x₀|
=×2|x₀|
=
=·.
當(dāng)x₀=±時(shí),△PP′Q的面積S取得最大值2.
此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±,0),半徑|QP|==,
因此,這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)²+y²=6,(x-)²+y²=6.