Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f（x+1）=f（2-x）成立，若f（x）=0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為（　�。�

• A．101
• B．151
• C．303
• D．

  303

  2

Answer 1

分析：由f（x+1）=f（2-x）⇒f（x）=f（3-x）?函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱，依題意知x=

3

2

必是一個(gè)根，而其他對(duì)稱的根共有50對(duì)，每一對(duì)之和為3，從而可得答案．

解答：解：∵f（x+1）=f（2-x），
∴令t=x+1，
則f（t）=f（3-t），
∴f（x）=f（3-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱，
又f（x）=0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以x=

3

2

必是一個(gè)根，而其他對(duì)稱的根共有50對(duì)，每一對(duì)之和為2×

3

2

=3，
∴所有的實(shí)數(shù)根之和為3×50+

3

2

=

303

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查函數(shù)的對(duì)稱性，推得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．