已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(1)=0.
(I)若a>b>c,證明f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離d滿足:
3
2
<d<3;
(Ⅱ)設(shè)f(x)在x=
t+1
2
(t>0,t≠1)處取得最小值,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(其中n∈N,g(x)=x2+x+1)都成立,若數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為bn,求{cn}的通項(xiàng)公式.
分析:(1)由f(1)=0結(jié)合a>b>c,得到a為正數(shù)且c為負(fù)數(shù),得到b2-4ac>0,f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).由x=1是f(x)=0的一個(gè)根,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,得到另一個(gè)根是
c
a
,從而得到d=|1-
c
a
|
.再由不等式的性質(zhì)加以討論,即可得到-2<
c
a
<-
1
2
,從而得到
3
2
<d<3成立;
(2)由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性,結(jié)合題意得到an+bn=1且tan+bn=tn+1,兩式聯(lián)解可得bn=
t-tn+1
t-1
,根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n和的關(guān)系式算出cn=-tn,再檢驗(yàn)n=1時(shí),c1=b1=-t也符合.由此可得{cn}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(I)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
∴結(jié)合a>b>c,可得a>0,c>0.
因此ac<0,得b2-4ac>0…(1分)
即f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
∵f(1)=0,得x=1是f(x)=0的一個(gè)根.
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可知f(x)=0的另一個(gè)根是
c
a
,可得d=|1-
c
a
|

c
a
<0,d=1-
c
a
,且a>b>c,b=-a-c,
∴a>b=-a-c>c.
由此可得
c
a
<-1-
c
a
<1
,即-2<
c
a
<-
1
2
,
3
2
<1-
c
a
<3

∴兩個(gè)交點(diǎn)間的距離d滿足:
3
2
<d<3
.…(3分)
(II)∵f(x)在x=
t+1
2
處取得最小值,∴x=
t+1
2
是f(x)的對(duì)稱軸方程.
由f(x)圖象的對(duì)稱性及f(1)=0可知f(t)=0.  …(5分)
令x=1,得an+bn=1…①;
再令x=t,得tan+bn=tn+1…②
由①、②聯(lián)解,可得bn=
t-tn+1
t-1
.…(7分)
∴n>1時(shí),cn=
t-tn+1
t-1
-
t-tn
t-1
=
tn(1-t)
t-1
=-tn

又∵n=1時(shí),c1=b1=
t-t2
t-1
=-t
,也符合
∴{cn}是首項(xiàng)為c1=-t,公比為q=t的等比數(shù)列,且{cn}的通項(xiàng)公式cn=-tn. …(8分)
點(diǎn)評(píng):本題給出二次函數(shù)滿足的條件,求證距離d滿足的條件并依此求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)與求和不等式的性質(zhì)等知識(shí),考查了邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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