Question

如圖，從邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，且要求長(zhǎng)方體的高度與底面正方形的邊長(zhǎng)的比不超過常數(shù)，問：取何值時(shí)，長(zhǎng)方體的容積V有最大值？

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】此題是一道應(yīng)用題，主要還是考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．

求體積最大值的問題，由題意解出v的表達(dá)式，對(duì)函數(shù)v進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后根據(jù)極值點(diǎn)來確定函數(shù)v的單調(diào)區(qū)間，

因極值點(diǎn)是關(guān)于a，t的表達(dá)式，此時(shí)就需要討論函數(shù)v的單調(diào)性，分別代入求出最大值，從而求解．

解：長(zhǎng)方體的體積V(x)＝4x(x－a)²，(o＜x＜a)，…………………………2分

由≤ t 得　0＜x≤< a  …………………4分

而V′＝12(x－)(x－a)   ∴V在（0，）增，在（， a）遞減……………6分