Question

已知曲線f（x）=x³在x=n（n∈N^*）處的切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a_n，則數(shù)列{

1

anan+1

}的前8項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）=x³在x=n處的切線方程，進(jìn)一步求出切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到a_n，代入

1

anan+1

整理后裂項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)相消法求得答案．

解答： 解：由f（x）=x³，得f′（x）=3x²．
∴f′（n）=3n²，
則f（x）=x³在x=n處的切線方程為y-n³=3n²（x-n），
取y=0，得x=

2n

3

．
即an=

2n

3

．
∴

1

anan+1

=

1

2n 3 • 2(n+1) 3

=

9

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
則數(shù)列{

1

anan+1

}的前8項(xiàng)和為：

9

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

8

-

1

9

)=

9

4

(1-

1

9

)=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．