Question

【題目】已知函數(shù) 若關(guān)于的不等式的解集非空，且為有限集，則實數(shù)的取值集合為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)，研究的性質(zhì)和圖像；利用換元法，結(jié)合二次不等式的解集，結(jié)合的函數(shù)圖像，即可分類討論求得.

當(dāng)時，，則，令，解得，

容易得在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

且在時，取得極小值，即；且時，；

當(dāng)時，，則，令，解得，

容易得在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，

且在時，取得極大值，即；且時，；

故的模擬圖像如下所示：

綜上所述：的值域為.

令，則，其，對稱軸為：

當(dāng)時，顯然關(guān)于的二次不等式解集為空集，不滿足題意；

當(dāng)，即或時，

若，顯然關(guān)于的二次不等式的解集為，又，

數(shù)形結(jié)合可知，此時關(guān)于的原不等式解集為空集，不滿足題意；

若，關(guān)于的二次不等式的解集為，又，

數(shù)形結(jié)合可知，此時關(guān)于的原不等式解集為，滿足題意；

當(dāng)，即或時，

令，解得，

顯然，故此時關(guān)于的不等式的解集為，

數(shù)形結(jié)合可知，要滿足題意，只需或.

即，解得，滿足或；

或，解得，不滿足或，舍去；

綜上所述，要滿足題意，則或.

故答案為：.