Question

已知函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）證明：

①上恒成立

②

 

Answer 1

【答案】

（1）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)   （2）.

（3）見解析

【解析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)知識求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離常數(shù)法把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；（3）利用放縮法求證不等式成立

（1）函數(shù)       …………………1分

當(dāng)時(shí)，，則上是增函數(shù)       ………2分

當(dāng)時(shí)，由得                

由得                 ………4分

則上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)        ……5分

(采用列表的方式也要給滿分)

（2）解法一：由（I）知時(shí)，遞增，而不  

成立，故         ………7分

又由（I）知，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820263673183933/SYS201207182027372631327371_DA.files/image015.png">恒成立，

所以,解得              …………9分

所以,實(shí)數(shù)的取值范圍為.

解法二（分離變量法）：

     ……9分

  所以,實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

（3）①證明:由（2）知，當(dāng)時(shí)有在恒成立，

由(1)知當(dāng)時(shí)上是減函數(shù)，且，

所以,時(shí), 恒成立,

即上恒成立 .          ……………………11分

②證明：令，則，即，從而，

所以

即