Question

已知函數

 （1）求函數的單調區(qū)間；

 （2）若恒成立，試確定實數k的取值范圍；

（3）證明：

①上恒成立

②

 

Answer 1

【答案】

（1）上是增函數，在上是減函數   （2）.

（3）見解析

【解析】（1）利用導函數知識求出函數的單調區(qū)間；（2）利用分離常數法把恒成立問題轉化為求函數最值問題；（3）利用放縮法求證不等式成立

（1）函數       …………………1分

當時，，則上是增函數       ………2分

當時，由得                

由得                 ………4分

則上是增函數，在上是減函數        ……5分

(采用列表的方式也要給滿分)

（2）解法一：由（I）知時，遞增，而不  

成立，故         ………7分

又由（I）知，因為恒成立，

所以,解得              …………9分

所以,實數的取值范圍為.

解法二（分離變量法）：

     ……9分

  所以,實數k的取值范圍為.

（3）①證明:由（2）知，當時有在恒成立，

由(1)知當時上是減函數，且，

所以,時, 恒成立,

即上恒成立 .          ……………………11分

②證明：令，則，即，從而，

所以

即