Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足
（�。�對(duì)任意x、y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（）
（ⅱ）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，試研究f（）+f（）+…+f（）與f（）的關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：在（�。┲�，用特殊值法，令x=y=0，x=-y，可得f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合（ii），分析可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0；進(jìn)而將f（）+f（）+…+f（）變形為[f（）-f（）]+[f（）-f（）]+…+[f（）-f（）]，化簡(jiǎn)可得其等于f（）-f（），由的范圍，可得f（）＜0；即可得答案．
解答：解：在（�。┲校�令x=y=0，可得到f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0，
令x=-y，可得f（x）+f（-x）=f（0），
則f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函數(shù)；
又由（ii），當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，則-x∈（-1，0）
f（x）=-f（-x）＜0，
即當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，
f（）=f（）+f（-）=f（）-f（）
則f（）+f（）+…+f（）=[f（）-f（）]+[f（）-f（）]+…+[f（）-f（）]
=f（）-f（）；
∵0＜＜1，
∴f（）＜0；
則f（）-f（）＞f（），
故f（）+f（）+…+f（）＞f（）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意，由奇偶性的定義，判斷出f（x）的奇偶性，．