Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2），f（x）≠0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b∈（-2，2）均滿足f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）．
（1）求f（0）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性并說明理由．
（3）當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）為增函數(shù)，若f（1-m）＜f（m）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知，當(dāng)a=b=0時(shí)，f（0）+f（0）=2f²（0）
而f（0）≠0，∴f（0）=1
（2）令a=0，b=x∈（-2，2），則f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）
即f（x）+f（-x）=2f（x）
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)
（3）∵函數(shù)f（x）在（-2，2）上是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）為增函數(shù)
∴f（1-m）＜f（m）?f（|1-m|）＜f（|m|）
∴
解得-1＜m＜
分析：（1）利用賦值法，令a=b=0代入恒等式即可；
（2）利用賦值法，令a=0，b=x∈（-2，2），代入恒等式，再利用偶函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性知在定義域上，絕對(duì)值越大，函數(shù)值越小，依次列不等式組即可解得m的取值范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的意義和應(yīng)用，函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用