Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù)，設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值．

 

Answer 1

【答案】

(1)      (2)

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx-x，f′（x）=-1=令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，∴函數(shù)f（x）增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；

（2）f′（x）=

①當(dāng)a>0時(shí)，x＞0，∴f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0．e]上是增函數(shù)，

∴f（x）_max=f（e）=2，∴a+1=2,∴a=e符號(hào)題意；

②當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=0得x=-，

1°若0＜-≤e，即-≤a＜0時(shí)

∴f（x）_max=f（-a）=2

∴-1+ln（-a）=2，

∴a=-e²不符號(hào)題意，舍去；

2°若-a＞e，即a＜-e時(shí)，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函數(shù)，故f（x）_max=f（）=2∴a=不符號(hào)題意，舍去；故a=

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和分類討論的思想方法，注意函數(shù)的定義域；屬難題