Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大��；
（Ⅲ）求證：平面MND⊥平面PCD．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證明MN∥平面PAD，可以想著找一個MN所在平面和平面PAD平行，取CD中點E，連接ME，NE，則容易證明ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，所以平面MNE∥平面PAD，這樣就能得到MN∥平面PAD；
（Ⅱ）容易說明∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角，并能求出∠PDA；
（Ⅲ）只要在平面MNE內(nèi)找一直線和平面PCD垂直即可，通過觀察MN像是所找直線，容易證明MN⊥CD，連接PM，CM，能得到PM=CM，所以MN⊥PC，這樣這條直線就找到了，也就能證出平面MND⊥平面PCD了．

解答： 解：（Ⅰ）取CD中點E，連接ME，NE則：ME∥AD，NE∥PD，AD?平面PAD，PD?平面PAD；
∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，NE∩ME=E；
∴平面MNE∥平面PAD，MN?平面MNE；
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；
∴PA⊥AB，即AB⊥PA；
又AB⊥AD，PA∩AD=A；
∴AB⊥平面PAD，CD∥AB；
∴CD⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴CD⊥PD，即PD⊥CD，又AD⊥CD，CD=平面PCD∩平面ABCD；
∴∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角；
在Rt△PAD中，∠PAD=90°，PA=AD；
∴∠PDA=45°；
∴平面PCD與平面ABCD所成二面角是45°．
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知MN∥平面PAD，CD⊥平面PAD；
∴CD⊥MN，即MN⊥CD，連接PM，CM；
∵AM=BM，PA=CB，∠PAM=∠CBM；P
∴△PAM≌△CBM，∴PM=CM，N是PC中點；
∴MN⊥PC，PD∩CD=C，PD，CD?平面PCD；
∴MN⊥平面PCD，MN?平面MNE；
∴平面MND⊥平面PCD．

點評：本題考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．