Question

【題目】已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù) .

（Ⅰ）若，且關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析: ∵函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，

∴

（Ⅰ）令，則，即

令，利用導(dǎo)數(shù)研究 的性質(zhì)，可得，

又， ， 所以當(dāng)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， .

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，

利用導(dǎo)數(shù)研究 的性質(zhì)，可得是的極大值點(diǎn).

∵

∴，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析:∵函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，

∴

（Ⅰ）令，則，即

令，則，

令，則.

因?yàn)?/span>，所以 所以在上是減函數(shù)，

又，所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，

又， ，

所以當(dāng)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， ，∴.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，

易知，當(dāng)時(shí)， 恒成立，等價(jià)于.

因?yàn)?/span>，令得，或

又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是的極大值點(diǎn).

∵

∴，即為所求.