Question

如圖，已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析：（1）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；
（2）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有AH=

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AD，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點(diǎn)位置；

解答：解：（1）連接AF，∵底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，F(xiàn)分別是線段BC的中點(diǎn)，
∴AF=DF=

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，
∴AF²+DF²=AD²，∴AF⊥DF，
又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴PA⊥DF，
又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF，PF?平面PAF，
∴PF⊥FD；
（2）取AD的中點(diǎn)O，連接OB，
則OB∥FD，過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，
則EH∥平面PFD，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AH=

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4

AD，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
又GH∩EH=H，∴平面GEH∥平面PFD，
∵EG?平面GEH，
∴EG∥平面PFD．從而確定G點(diǎn)位置；

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了面面平行的判定與性質(zhì)及線面平行的判定，解答本題的關(guān)鍵是作出平面PFD的平行平面．