Question

（2012•貴州模擬）如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F(xiàn)是PD的中點，E是線段AB上的點．
（Ⅰ）當E是AB的中點時，求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小為45°，試確定E點的位置．

Answer 1

分析：法一：
（I）取PC的中點O，連接OF，OE．由已知得OF∥DC且OF=

1

2

DC，由E是AB的中點，則OF∥AE且OF=AE，故AEOF是平行四邊形，由此能夠證明AF∥平面PEC．
（II）作AM⊥CE交CE的延長線于M．連接PM，由三垂線定理得PM⊥CE，∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．由此能夠推導(dǎo)出要使二面角P-EC-D的大小為45°，只需AE=

5

4

．
解法二：
（I）由已知，AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．利用向量法能夠證明AF∥平面PEC．
（II）求出平面DEC的一個法向量為

AP

=(0，0，1)，設(shè)E=（t，0，0），求出平面PEC的法向量為

m

=(1，t-2，t)，利用向量法能求出要使要使二面角P-EC-D的大小為45°，只需AE=

5

4

．

解答：解法一：
（I）證明：如圖，取PC的中點O，連接OF，OE．
由已知得OF∥DC且OF=

1

2

DC，
又∵E是AB的中點，則OF∥AE且OF=AE，
∴AEOF是平行四邊形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC．
（II）解：如圖，作AM⊥CE交CE的延長線于M．
連接PM，由三垂線定理得PM⊥CE，
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．
∴∠PMA=45°，
∵PA=1，∴AM=1，
設(shè)AE=x，
由△AME≌△CBE，得x=

(2-x)2+1

，解得x=

5

4

，
故要使二面角P-EC-D的大小為45°，只需AE=

5

4

．
解法二：
（I）證明：由已知，AB，AD，AP兩兩垂直，
分別以它們所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，
∴

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，
∵E（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，1），
設(shè)平面PEC的法向量為

m

=(x，y，z)
則

m • EC =0 m • EP =0

⇒

x+y=0 -x+z=0

，令x=1得

m

=(1，-1，1)，
由

AF

•

m

=(0，

1

2

，

1

2

)•(1，-1，1)=0，得

AF

⊥

m

，
又AF?平面PEC，故AF∥平面PEC．
（II）解：由已知可得平面DEC的一個法向量為

AP

=(0，0，1)，
設(shè)E=（t，0，0），設(shè)平面PEC的法向量為

m

=(x，y，z)
則

m • EC =0 m • EP =0

⇒

(2-t)x+y=0 -tx+z=0

，令x=1得

m

=(1，t-2，t)，
由cos45o=|

AP • n

| AP |×| n |

|⇒t=

5

4

，
故，要使要使二面角P-EC-D的大小為45°，只需AE=

5

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查要使二面角的大小為45°的點的位置的確定．解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．